Definition

Ein Körper, der mit Fluchtgeschwindigkeit $v_F$ die Oberfläche eines Planeten verlässt (z.B. das Raumschiff von Jules Verne), fällt nie mehr von selbst auf die Erde zurück

Genaue Definition

Startet ein Raumschiff mit exakt Fluchtgeschwindigkeit, so erreicht es nach unendlich langer Zeit in unendlich weiter Entfernung die Geschwindigkeit von exakt $0\,\text{m/s}$

Beschreibung der komplexen Dynamik

Es wird immer langsamer langsamer:
Je weiter sich das Raumschiff vom Planeten entfernt, umso mehr abgebremst wird es durch die Gravitation $\rightarrow$ Diese Gravitationskraft nimmt jedoch mit zunehmender Entfernung zum Planeten ab $\rightarrow$ deshalb nimmt auch der Wert der Abbremsung ab, das heißt die negative Beschleunigung wird immer geringer, je weiter sich das Raumschiff vom Planeten entfernt.

Herleitung der Formel

WH. 6. Klasse:

Gesamtenergie ($E_G$) = Kinetische Energie ($E_{kin}$) + Potentielle energie ($E_{pot}$)

$$E_G = E_{kin} + E_{pot}$$

also

$$E_G = \left( \frac{m \cdot v^2}{2} \right) + (m \cdot g \cdot h)$$

$m \dots$ Masse d. Raumschiffs
$h \dots$ Höhe
$g \dots$ Erdbeschleunigung $\approx 9,81\,\text{m/s}^2$ (an der Erdoberfläche)

Beobachtung an "Extremdistanzen"

Für die "Extremdistanzen" ($r=0$ und $r \rightarrow \infty$) gilt $E_{kin} = E_{pot}$

Am Startpunkt ($r=0$):
Das Raumschiff startet mit maximale kinetische Energie,
und (theoretisch) $E_{pot} = 0$

Es gilt für $E_G$

$$E_G = E_{kin} = \frac{m \cdot v_F^2}{2}$$

Im Unendlichen ($r \rightarrow \infty$):
Das Raumschiff kommt zum Stillstand
Geschwindigkeit $v = E_{kin} = 0$

Es gilt für $E_G$

$$E_G = E_{pot} = m \cdot g \cdot h$$

Gleichsetzen:
Da die Gesamtenergie erhalten bleibt, gilt:

$$\frac{m \cdot v_F^2}{2} = m \cdot g \cdot h$$

Kürzen und Umformen:

$$v_F^2 = 2 \cdot g \cdot h$$

Unter Berücksichtigung von $g = \frac{G \cdot M}{r^2}$ (wobei $M$ die Masse d. Planeten ist) und der Annahme $h = r$ (Radius des Planeten):

$$v_F^2 = 2 \cdot \frac{G \cdot M}{r^2} \cdot h = 2 \cdot \frac{G \cdot M}{r^2} \cdot r$$

$$v_F^2 = \frac{2 \cdot G \cdot M}{r}$$

Also

$$v_F = \sqrt{\frac{2 \cdot G \cdot M}{r}}$$

LETS GOOOOO