Kepler machte drei wesentliche Entdeckungen zur Planetenmechanik,
konnte jedoch keine physikalische Erklärung dafür liefern.

Erst Newton konnte im Rahmen seiner klassischen Mechanik bzw. seiner klassischen Gravitationstheorie eine physikalische Erklärung geben und das zweite sowie das dritte Keplersche Gesetz herleiten.

1. Keplersches Gesetz

Die Planeten bewegen sich auf Ellipsenbahnen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht.

Größte Selbstverständlichkeit ist ohne nachzudenken.
Leute von früher sind ausgegangen dass Planetenbahnen Kreisbahnen sind.

Aphel: sonnenfernster Punkt
Perihel: sonnennächster Punkt
$a \dots$ große Halbachse
$b \dots$ kleine Halbachse
$e \dots$ Exzentrizität

(Exzentrizität ist eine Bestimmungsgröße für Ellipsen. Sie gibt das Ausmaß der Abweichung der Ellipsenform von der Kreisform an:
Je größer die Exzentrizität, desto stärker ist die Ellipse ausgeprägt)

2. Keplersches Gesetz

Der von der Sonne zum Planeten zeigende Radiusvektor $r$ überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.

$$\frac{\Delta A_1}{\Delta t_1} = \frac{\Delta A_2}{\Delta t_2}$$

$\Delta A_1$, $\Delta A_2 \dots$ überstrichene Flächen
$\Delta t_1$, $\Delta t_2 \dots$ Zeitspannen

also: Wenn $\Delta t_1 = \Delta t_2$, dann gilt $\Delta A_1 = \Delta A_2$.

Drehimpuls

$$L = m \cdot v \cdot r = \text{const}$$

$L \dots$ Drehimpuls

Der Drehimpuls eines Planeten ist konstant.

Wenn wir die Bewegung des Planeten nur über eine kurze Zeit betrachten, können wir annehmen, dass die Geschwindigkeit des Planeten konstant bleibt ($v = \text{const}$)
und dass der Planet anstatt einer Ellipsenbahn eine gerade Strecke zurücklegt.

Wenn $v = \text{const}$ gilt:

$$v = \frac{s}{t}$$

$s/t$ anstelle von $v$ einsetzen:

$$L = m \cdot \frac{s}{t} \cdot r$$

oder

$$L = \frac{m \cdot r \cdot s}{t}$$

wobei $P_1$, $P_2$ und $F_1$ ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Flächeninhalt bilden:

$$A_\triangle = \frac{r \cdot s}{2}$$

Umformen:

$$r \cdot s = 2A_\triangle$$

Einsetzen in $L$:

$$L = m \cdot \frac{2A_\triangle}{t} = \text{const}$$

Konstante auf eine seite bringen (nach $A_\triangle / t$ umformen):

$$\frac{A_\triangle}{t} = \frac{L}{2m} = \text{const}$$

also:

$$\frac{A_1}{t_1} = \frac{A_2}{t_2} = \frac{L}{2m} = \text{const}$$

Kepler kannte die Daten, aber nicht den physikalischen Zusammenhang.

3. Keplersches Gesetz

Die Quadrate der Umlaufzeiten $T_1, T_2$ zweier Planeten verhalten sich wie die dritten Potenzen der großen Halbachsen $a_1, a_2$ ihrer Bahnellipsen.

$$\frac{ {T_1}^2 }{ {a_1}^3 } = \frac{ {T_2}^2 }{ {a_2}^3 } = \frac{ {T_3}^2 }{ {a_3}^3 } = \dots = \frac{ {T_8}^2 }{ {a_8}^3 } = \text{const}$$

(8 für unser Sonnensystem)

Herleitung der Formel

Wir gehen von einer vereinfachten Annahme aus:
Die Planetenbahn ist eine Kreisbahn mit festem Radius $a = b = r$.

$$\omega = \frac{\varphi}{t} = \frac{2\pi}{T}$$

Definition:

$\omega \dots$ Omega, Winkelgeschwindigkeit (Einheit: Radiant/rad, $360 \degree = 2 \pi$)
$\varphi \dots$ Phi, der in der Zeit $t$ überstrichene Winkel
$T \dots$ Umlaufzeit
$v \dots$ Bahngeschwindigkeit

Zusammenhang:

Betrachtet man zwei Markierungen auf einem rotierenden Körper: $s_1$ und $s_2$ sind zwei Kreisbögen, die diese Markierungen in derselben Zeitspanne $t$ zurücklegen. Da die äußere Markierung $s_2$ bei gleichem Winkel einen längeren Weg zurücklegen muss als die innere Markierung $s_1$, ist die Bahngeschwindigkeit $v_2$ größer als $v_1$.

Dabei gilt:

$$\uparrow v = \omega r \uparrow \quad \text{oder} \quad v \propto r$$

Die Zentripetalkraft $F_{zp}$:

$$F_{zp} = \frac{m \cdot v^2}{r}$$

Wir wissen: $v = \omega r$, somit $v^2 = \omega^2 \cdot r^2$.
Einsetzen in $F_{zp}$:

$$F_{zp} = \frac{m \cdot \omega^2 \cdot r^2}{r} = m \omega^2 r$$

Im Gleichgewicht gilt, dass die Zentripetalkraft der Gravitationskraft entspricht:

$$\vec{F}_{zp} = \vec{F}_G$$

Einsetzen:

$$m_2 \omega^2 r = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$$

wobei:
$m_2$ = Umkreisender (Satellit, Mond, Erde)
$M$ ($m_1$) = Umkreister Körper (Sonne, Planet)

Masse des umkreisenden Körpers ($m_2$) kürzen:

$$\omega^2 r = \frac{G M}{r^2}$$

durch $r$ dividieren (nicht kürzen):

$$\omega^2 = \frac{G M}{r^3}$$

Wie erwähnt: $\omega = \frac{2\pi}{T}$, quadrieren $(\omega = \frac{2\pi}{T})^2$

$$\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 = \frac{4\pi^2}{T^2} = \frac{G M}{r^3}$$

Konstante auf eine seite bringen:

$$\frac{4\pi^2}{G M} = \frac{T^2}{r^3}$$

Verallgemeinerung $r \rightarrow a$

$$\frac{4\pi^2}{G M} = \frac{T^2}{a^3}$$

Höllisch aufpassen:
Diese Formel gilt in allgemeinste weise dann, wenn ein Körper mit der Masse $M$ umkreist wird.

Zum ersten Mal kann man damit die Masse des umkreisten Körpers bestimmen (aus Umlaufzeit und Bahnradius des umkreisenden Körpers).

Interpretation des Fromels in Allgemeinster Fall

Die Masse $M$ ist die Masse des umkreisten Körpers.
$T$ ist die Umlaufzeit des umkreisenden Körpers (für einen vollständigen $360\degree$ Umlauf).
$a$ ist die große Halbachse der Bahn des umkreisenden Körpers.

Umkreiste Masse $M$	Galaxiezentrum	Sonne	Erde	Jupiter	Mond
Umkreisende Masse $m$	Sterne der Galaxie	Planeten	Mond, Satelliten	Jupitermonde	Apollo-Raumschiff

Bezogen auf die Planeten Sonnensystems gilt:

$$\frac{ {T_1}^2 }{ {a_1}^3 } = \frac{ {T_2}^2 }{ {a_2}^3 } = \frac{ {T_3}^2 }{ {a_3}^3 } = \dots = \frac{ {T_8}^2 }{ {a_8}^3 } = \frac{4\pi^2}{GM} = \text{const}$$

wobei
$T_1$ die Umlaufzeit und $a_1$ die große Halbachse des Merkur sind,
$T_2$ die Umlaufzeit und $a_2$ die große Halbachse der Venus sind,
$T_3$ die Umlaufzeit und $a_3$ die große Halbachse der Erde sind,
usw.